Дерево. Свойства дерева

Деревья представляют собой иерархическую структуру некой совокупности элементов. Деревья – это одна из наиболее важных нелинейных структур, которые встречаются при работе с компьютерными алгоритмами, их используют при анализе электрических цепей, математических формул, для организации информации в системах управления базами данных и для представления синтаксических структур в компиляторах.

Дерево – это совокупность элементов, называемых узлами (один из которых определен как корень), и отношений («родительских»), образующих иерархическую структуру узлов. Вообще говоря, древовидная структура задает для элементов дерева (узлов) отношение «ветвления», которое во многом напоминает строение обычного дерева.

Формально дерево (tree) определяется как конечное множество T одного или более узлов со следующими свойствами:

  • Существует один выделенный узел, а именно – корень (root) данного дерева;
  • Остальные узлы (за исключением корня) распределены среди m непересекающихся множеств T1 , T2, … Tm, и каждое из этих множеств, в свою очередь, является деревом; деревья T1, T2, …T m называются поддеревьями данного корня.

Как видите, это определение является рекурсивным: дерево определено на основе понятия дерево. Рекурсивный характер деревьев можно наблюдать и в природе, например, почки молодых деревьев растут и со временем превращаются в ветви (поддеревья), на которых снова появляются почки, которые также растут и со временем превращаются в ветви (поддеревья) и т.д. Можно привести еще одно формальное определение дерева:

  • Один узел является деревом. Этот же узел также является корнем этого дерева.
  • Пусть n – это узел, а T1, T2, … Tm – деревья с корнями n1, n2, … nm соответственно. Можно построить новое дерево, сделав n родителем узлов n1, n2, … nm. В этом дереве n будет корнем, а T1, T2, … Tm – поддеревьями этого корня. Узлы n1, n2, … nm называются сыновьями узла n.

Из приведенных выше определений следует, что каждый узел дерева является корнем некоторого поддерева данного дерева. Количество поддеревьев узла называется степенью этого узла. Узел с нулевой степенью называется концевым узлом или листом. Неконцевой узел называется узлом ветвления. Каждый узел имеет уровень, который определяется следующим образом: уровень корня дерева равен нулю, а уровень любого другого узла на единицу выше, чем уровень корня ближайшего поддерева, содержащего данный узел.

Рассмотрим эти понятия на примере дерева с семью узлами. Узлы часто изображаются буквами, они так же, как и элементы списков могут быть элементами любого типа.Дерево

Узел A является корнем, который имеет два поддерева {B} и {C, D, E, F, G}. Корнем дерева{C, D, E, F, G} является узел C. Уровень узла C равен 1 по отношению ко всему дереву. Он имеет три поддерева {D}, {E}и {F, G}, поэтому степень узла C равна 3. Концевыми узлами (листьями) являются узлы B, D, E, G.

Путем из узла n1 в узел nk называется последовательность узлов n1, n2, … nk, где для всех i, 1< i < k, узел ni является родителем узла ni +1.

Длиной пути называется число, на единицу меньшее числа узлов, составляющего этот путь. Таким образом, путем нулевой длины будет путь из любого узла к самому себе. Например, на рисунке путем длины 2 будет путь от узла A к узлу F или от узла C к узлу G.

Если существует путь из узла a в узел b, то в этом случае узел a называется предком узла b , а узел b – потомком узла a. Отметим, что любой узел одновременно является предком и потомком самого себя. Например, на рисунке предками узла G будут сам узел G и узлы F, C и A. Потомками узла C будут являться сам узел C и узлы D, T, F, G. В дереве только корень не имеет предков, а листья не имеют потомков.

Предок узла, имеющий уровень на единицу меньше уровня самого узла, называется родителем. Потомки узла, уровень которых на единицу больше относительно самого узла, называются сыновьями или детьми. Узлы, являющиеся сыновьями одного родителя, принято называть братьями.

Высотой узла дерева называется длина самого длинного пути от этого узла до какого-либо листа. Глубина узла определяется как длина пути от корня до этого узла.

Лес — это множество (обычно упорядоченное), содержащее несколько непересекающихся деревьев. Узлы дерева при условии исключения корня образуют лес.

Порядок узлов

Если в определении дерева имеет значение порядок поддеревьев T1, T2, … Tm, то дерево является упорядоченным.Порядок узлов

Сыновья узла обычно упорядочиваются слева направо. Поэтому деревья, приведенные на рисунке, являются различными.

Если порядок сыновей игнорируется, то такое дерево называется неупорядоченным. Далее будем неявно предполагать, что все рассматриваемые деревья являются упорядоченными, если явно не указано обратное.

Обходы дерева

Существует несколько способов обхода всех узлов дерева. Три наиболее часто используемых способа обхода называются прямой, обратный и симметричный обходы. Все три способа можно рекурсивно определить следующим образом:Обходы дерева

  • Если дерево T является нулевым деревом, то в список обхода записывается пустая строка;
  • Если дерево T состоит из одного узла, то в список обхода записывается этот узел;
  • Пусть дерево T имеет корень n и поддеревья T1, T2, … Tm, как показано на рисунке.

Тогда для различных способов обхода имеем следующее:

  • Прямой обход. Сначала посещается корень n, затем в прямом порядке узлы поддерева T1, далее все узлы поддерева T2 и т.д. Последними посещаются в прямом порядке узлы поддерева Tm.
  • Обратный обход. Сначала посещаются в обратном порядке все узлы поддерева T1, затем в обратном порядке узлы поддеревьев T2 … Tm, последним посещается корень n.
  • Симметричный обход. Сначала в симметричном порядке посещаются все узлы поддерева T1, затем корень n, после чего в симметричном порядке все узлы поддеревьев T2 … Tm.

Рассмотрим пример всех способов обхода дерева, изображенного на рисунке:Примеры обхода
Порядок узлов данного дерева в случае прямого обхода будет следующим:
1 2 3 5 8 9 6 10 4 7.
Обратный обход этого же дерева даст нам следующий порядок узлов:
2 8 9 5 10 6 3 7 4 1.
При симметричном обходе мы получим следующую последовательность узлов:
2 1 8 5 9 3 10 6 7 4.

Двоичные деревья

Двоичное или бинарное дерево — это наиболее важный тип деревьев. Каждый узел бинарного дерева имеет не более двух поддеревьев, причем в случае только одного поддерева следует различать левое или правое. Строго говоря, бинарное дерево — это конечное множество узлов, которое является либо пустым, либо состоит из корня и двух непересекающихся бинарных деревьев, которые называются левым и правым поддеревьями данного корня. Тот факт, что каждый сын любого узла определен как левый или как правый сын, существенно отличает двоичное дерево от обычного упорядоченного ориентированного дерева.

Рис. а

а

Рис. б

б

Рис. в

в

Если мы примем соглашение, что на схемах двоичных деревьев левый сын всегда соединяется с родителем линей, направленной влево и вниз от родителя, а правый сын – линией, направленной вправо и вниз, тогда деревья, изображенные на рисунке а) и б), — это различные деревья, хотя они оба похожи на обычное дерево (рис. в)).

Двоичные деревья нельзя непосредственно сопоставить с обычным деревом.

Обход двоичных деревьев в прямом и обратном порядке в точности соответствует таким же обходам обычных деревьев. При симметричном обходе двоичного дерева с корнем n левым поддеревом T1 и правым поддеревом T2 сначала проходится поддерево T1, затем корень n и далее поддерево T2.

Бинарное дерево можно представить в виде динамической структуры данных, состоящей из узлов, каждый из которых содержит кроме данных не более двух ссылок на правое и левое бинарное дерево. На каждый узел имеется одна ссылка. Начальный узел называется корнем.

По аналогии с элементами списков, узлы дерева удобно представить в виде записей, хранящих информацию и два указателя:

Процедура создания двоичного дерева, содержащего n элементов.

Добавление элемента в дерево.

Процедура печати элементов дерева с использованием обхода двоичного дерева в обратном порядке.

Функция, возвращающая true (1), если элемент присутствует в дереве, и false (0) — в противном случае (поиск по дереву).

Удаление узла из дерева.


Комментарии (3)

  • Avatar

    Профессор

    |

    Если сопоставить все факты, учесть за и против, с какой стороны дует ветер и как меня зовут, в принципе в нашей жизни все возможно !! Все хорошо, только мне не понятны обходы и порядок узлов, а так все отлично 🙂

    Reply

  • Avatar

    Няшка:)

    |

    Откройте вк 🙂 please!!!

    Reply

  • Avatar

    QuB1K

    |

    Вообще не могу понять тему «Дерево, свойства дерева»!

    Reply

Оставить комментарий