Основные понятия математической логики

Алгебра логики — это раздел математики, изучающий высказывания, рассматриваемые со стороны их логических значений (истинности или ложности) и логических операций над ними.

Логическое высказывание — это любoе повествовательное предложение, в отношении кoтopoгo можно oднoзначнo сказать, истиннo oнo или лoжнo.

Содержание

---

• НЕ
• И
• ИЛИ
• Практическая часть

---

Так, например, предложение «6 — четное число» следует считать высказыванием, так как оно истинное. Предложение «Рим — столица Франции» тоже высказывание, так как оно ложное.

Чтобы обращаться к логическим высказываниям, им назначают имена. Пусть через А обозначено высказывание «Тимур поедет летом на море«, а через В — высказывание «Тимур летом отправится в горы«. Тогда составное высказывание «Тимур летом побывает и на море, и в горах» можно кратко записать как А и В. Здесь «и» — логическая связка, А, В — логические переменные, которые могут принимать только два значения — «истина» или «ложь«, обозначаемые, соответственно, «1«и «0«.
Каждая логическая связка рассматривается как операция над логическими высказываниями и имеет свое название и обозначение:

НЕ

Операция, выражаемая словом «не«, называется отрицанием и обозначается чертой над высказыванием (или знаком ¬). Высказывание истинно, когда ¬A ложно, и ложно, когда A истинно.

Пример.

«Луна — спутник Земли» (А); «Луна — не спутник Земли» (¬A).

A	¬A
1	0
0	1

Образуя логическое отрицание высказывания, будьте внимательны, не забывайте, что:

1. частицу «не» следует присоединять к сказуемому;
2. отрицание можно образовывать и с помощью слов «неверно, что…». Операцию отрицания можно осуществлять и над сложными высказываниями. При этом используют словосочетание «неверно, что…» которое присоединяется ко всему сложному высказыванию.

Примеры.

А. «Дважды семь равно десяти»;
¬А. «Дважды семь не равно десяти»;

В. «Земля является планетой Солнечной системы»;
¬В «Земля не является планетой Солнечной системы»;

И

Операция, выражаемая связкой «и«, называется конъюнкцией (лат. conjunctio — соединение) или логическим умножением и обозначается точкой «•» (может также обозначаться знаками Λ или &). Высказывание А•В истинно тогда и только тогда, когда оба высказывания А и В истинны. Например, высказывание «10 делится на 2 и 5 больше 3» истинно, а высказывания «10 делится на 2 и 5 не больше 3«, «10 не делится на 2 и 5 больше 3«, «10 не делится на 2 и 5 не больше 3» — ложны.

A	B	A•B
1	1	1
1	0	0
0	1	0
0	0	0

Пример.

Пусть даны высказывания: А. «Число 6 больше 3«; B. «Число 6 не является простым«. Тогда логическим произведением этих высказываний будет составное высказывание А В, или АВ: «Число 6 больше 3 и число 6 не является простым«.

ИЛИ

Операция, выражаемая связкой «или» (в неисключающем смысле этого слова), называется дизъюнкцией (лат. disjunctio — разделение) или логическим сложением и обозначается знаком v (или +). Высказывание А+В ложно тогда и только тогда, когда оба высказывания А и В ложны. Например, высказывание «10 не делится на 2 или 5 не больше 3» ложно, а высказывания «10 делится на 2 или 5 больше 3«, «10 делится на 2 или 5 не больше 3«, «10 не делится на 2 или 5 больше 3» — истинны.

A	B	A+B
1	1	1
1	0	1
0	1	1
0	0	0

Практическая часть

Какие из следующих предложений не являются объектами алгебры высказываний?

1. «Войдите«;
2. «Река Волга длиннее реки Оби«;
3. «Трижды семь больше, чем дважды по двенадцать«;
4. «Не курить!«;
5. «Пожалуйста, впустите«;
6. «Число 73 имеет четыре простых делителя«;
7. «Который час?«;
8. «225 делится без остатка на 12«.

Выделить высказывания, не являющиеся логической суммой:

1. «Перед нами портрет Матвеева или перед нами портрет Соколова«;
2. «Семь является делителем числа 8 или семь является делителем числа 14«;
3. «Председателем отряда изберут Володю или Сережу«.

Дано высказывание: «Сергеев является членом сборной команды «Динамо»«. Какое из следующих высказываний есть логическим отрицанием данного?

1. «Не Сергеев является членом сборной команды «Динамо»«;
2. «Сергеев является членом сборной команды не «Динамо»«;
3. «Сергеев не является членом команды «Динамо»«;
4. «Неверно, что Сергеев является членом сборной команды «Динамо»«.