Площадь многоугольника

Постановка задачи

Пусть требуется определить площадь полигона A1, A2, A3, A4, A5 с координатами вершин x1,y1; x2,y2; x3,y3; x4,y4; x5,y5. Площадь полигона S можно представить трапециями, у которых абсциссы являются основаниями, а разности ординат соседних точек высотами
S = a1A1A2a2 + a2A2A3a3 + a3A3A4a4 — a5A5A4a4 — a1A1A5a5.

2S = (x1 + x2)(y2 — y1) + (x2 + x3)(y3 — y2) + (x3 + x4)(y4 — y3) + (x4 + x5)(y5 — y4) + (x5 + x1)(y1 — y5).     (1)

После раскрытия скобок и приведения подобных членов получимПлощадь многоугольника

2S = x1y2 — x2y1 + x2y3— x3y2 + x3y4 — x4y3 + x4y5 — x5y4 + x5y1 — x1y5     (2)

После вынесения за скобки x1, x2, x3, x4, x5 будем иметь

2S = x1(y2-y5) + x2(y3-y1) + x3(y4-y2) + x4(y5-y3) + x5(y1-y4),

а если из формулы (2) вынести за скобки y1, y2, y3, y4, y5. То будем иметь

2S = y1(x5-x2) + y2(x1-x3) + y3(x2-x4) + y4(x3-x5) + y5(x4-x1).

В сокращенном виде эти формулы можно записать так:

     \[ \frac{1}{2}\sum{X_{k}\left(Y_{k+1}-Y_{k-1} \right)} \] \[ \frac{1}{2}\sum{Y_{k}\left(X_{k+1}-X_{k-1} \right)} \]

После преобразований получаем формулу

    \[ \frac{1}{2}\sum_{k=1}^{n}{\left(X_{k}+X_{k+1}\right)\left(Y_{k+1}-Y_{k-1} \right)} \]

Решение задачи


Оставить комментарий